Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* bài 3.3 trang 107 SBT Đại số 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 3.3 trang 107 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N^∗ ta có

a) 2n³ − 3n² + n chia hết cho 6.

b) 11^{n + 1} + 12²ⁿ⁻¹ chia hết cho 133.

Lời giải:

a) Đặt B_n = 2n³ − 3n² + n tính B¹

Giả sử đã có B_k = 2k³ − 3k² + k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh B_k+1 = 2(k+1)³ − 3(k+1)² + k chia hết cho 6.

b) Đặt A_n = 11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ⁻¹ Dễ thấy A₁ = 133 chia hết cho 133.

Giả sử A_k = 11^k+1 + 12^2k−1 đã có chia hết cho 133.

Ta có

A_k+1 = 11^k+2 + 12^2k+1

= 11. 11^k+1 + 12^2k−1.12²

= 11. 11^k+1 + 12^2k−1(11 + 133)

= 11.A_k + 133. 12^2k−1

Vì A_k chia hết 133 nên A_k+1 chia hết 133