Chứng minh các đẳng thức sau bài 3.4 trang 107 SBT Đại số 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 3.4 trang 107 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N^∗)

a) 2^{n + 2} > 2n + 5;

b) sin²ⁿα + cos²ⁿα ≤ 1.

Lời giải:

a) Với n = 1 thì 2^{1 + 2} = 8 > 7 = 2.1 + 5

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 tức là 2k + 2 > 2k + 5 (1)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1,

tức là 2k + 3 > 2(k + 1) + 5 hay 2k + 3 > 2k + 7(2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2k + 3 > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3

Vì 2k + 3 > 0 nên 2k + 3 > 2k + 7(đpcm)

b) Với n = 1 thì sin²α + cos²α = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có sin^2kα + cos^2kα ≤ 1 với k ≥ 1, ta phải chứng minh

sin^2k+2α + cos^2k+2α ≤ 1.

Thật vậy, ta có:

sin^2k+2α + cos^2k+2α = sin^2kα. sin²α + cos^2kα.cos²α ≤ sin^2kα + cos^2kα ≤ 1