Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N

Câu hỏi ôn tập chương 1

Bài 1.38 trang 38 Sách bài tập Hình học 11: Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60^ο. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân.

Lời giải:

Gọi Q_(G;120^ο) là phép quay tâm G góc 120^ο. Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.

Tương tự Q_(G;120^ο) cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra GP = GN, GQ = GM. Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì Q_(G;120^ο) biến PQ thành NM nên PQ = NM. Từ đó suy ra hai tam giác NQM và PMQ bằng nhau. Do đó ∠NQM = ∠PMQ. Tương tự ∠QNP = ∠MPN.

Từ đó suy ra ∠PNQ + ∠NQM = 180^ο

Do đó NP // QM. Vậy ta có tứ giác MPNQ là hình thang cân.