Chứng minh các bất đẳng thức sau 3n − 1 > n(n + 2) với n ≥ 4

Ôn tập chương 3

Bài 3.39 trang 133 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) 3n − 1 > n(n + 2) với n ≥ 4 ;

b) 2n − 3 > 3n − 1 với n ≥ 8

Lời giải:

a) Với n = 4 thì 3^4–1 = 27 > 4(4 + 2) = 24

Giả sử đã có

3^k−1 > k(k + 2) với k ≥ 4 (1)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

3.3^k−1 = 3(k + 1) – 1 > 3k(k + 2) = (k + 1)[(k + 1) + 2] + 2k² + 2k − 3

Do 2k² + 2k – 3 > 0 nên 3^(k+1)–1 > (k + 1)[(k + 1) + 2]

chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1

b) Giải tương tự câu a).