Cho tam giác ABC thỏa mãn vectơ AB + vectơ AC = vectơ AB - vectơ AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 40 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành.

Khi đó, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=AD$

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=CB$

Mà $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ nên AD = CB.

Hình bình hành ABCD có AB = CB nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó tam giác ABC vuông tại A.