Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng (vectơ AB) . (vectơ AC) = 1/2 ( AB^2+AC^2-BC^2)

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Bài 73 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ .

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$

$= \frac{1}{2} ({\vec{A B}}^{2} + {\vec{A C}}^{2} - {\vec{B C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} ((\vec{A B} - \vec{B C}) (\vec{A B} + \vec{B C}) + {\vec{A C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} ((\vec{A B} - \vec{B C}) \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A C} - \vec{B C} . \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2})$ .

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A C} - (\vec{B A} + \vec{A C}) . \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A C} - \vec{B A} . \vec{A C} - {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} .2 \vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} . \vec{A C}$