Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Bài 77 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ sông song song).

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đi dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ sông tới vị trí C đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°$

⇒ $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\right)=180°-\left(35°+115°\right)=30°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta được:

$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{BC}{\sin \widehat{CAB}}$

⇔ $\frac{50}{\sin 30°}=\frac{BC}{\sin 35°}$

⇔ $BC=\frac{50\sin 35°}{\sin 30°}\approx 57,36$

Xét tam giác CHB vuông tại B, có:

$\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}\iff CH=\sin \widehat{CBH}.BC\approx \sin 65°.57,36\approx 51,98$.

Vậy độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét.