Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn ( vectơ MA + vectơ MB ) . ( vectơ MC + vectơ MD ) = 0

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Bài 81 trang 108 SBT Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=0$. Chứng minh M luôn nằm trên đường tròn cố định.

Lời giải:

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=$

$\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JD}\right)\text{ = }\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right).\left(2\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $4\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\widehat{\text{IMJ}}=90°$

Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.