Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính: a) sin ∠ABC; b) Diện tích tam giác ABC; c) Độ dài đường trung tuyến AM

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Bài 74 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:

a) $\sin \widehat{ABC}$;

b) Diện tích tam giác ABC;

c) Độ dài đường trung tuyến AM.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC, có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:

$\text{cos}\widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB.BC}=\frac{5^2+6^2-7^2}{\mathrm{2.5.6}}=\frac{1}{5}$

Ta có: ${\text{cos}}^2\widehat{ABC}+{\sin }^2\widehat{ABC}=1$

⇔ ${\sin }^2\widehat{ABC}=1-{\text{cos}}^2\widehat{ABC}=1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$

Vì $\widehat{ABC}$ là góc trong tam giác nên $0°<\widehat{ABC}<180°$

⇒ $\sin \widehat{ABC}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Vậy $\sin \widehat{ABC}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{.5.6.}\frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $6\sqrt{6}.$

c) Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.6 = 3.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cos, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AM.BM.cosB

⇔ AM² = 5² + 3² – 2.5.3.$\frac{1}{5}$

⇔ AM² = 28

⇔ AM = $2\sqrt{7}$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM là $2\sqrt{7}$.