a) Chứng minh đẳng thức | vectơ a + vectơ b |^2 = |vectơ a|^2 + |vectơ b|^2 + 2. vectơ a . vectơ b với vectơ a và vectơ b là hai vectơ bất kì

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Bài 79 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1:

a) Chứng minh đẳng thức ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ bất kì.

b) Cho $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{7}$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

Lời giải

a) ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

b) Áp dụng công thức trên ta được:

 ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

⇔ ${\sqrt{7}}^2=2^2+3^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

⇔ $7=4+9+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

⇔ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-3$

Mặt khác ta lại có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)$>

⇔ $-3=\mathrm{2.3.}c\text{os}\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)$

⇔ $c\text{os}\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=-\frac{1}{2}$

⇔ $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=120°$.

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-3$ và $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=120°$.