Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Bài 82 trang 108 SBT Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Xét biểu thức:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{MG}$

⇒ $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|$

Do đó để biểu thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\left|3\overrightarrow{MG}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất và MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.

Vậy để $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm M là hình chiếu vuông góc của G trên đường thẳng d.