Cho ba điểm I, A, B và số thực k ≠ 1 thỏa mãn vectơ IK = 3 vectơ IB . Chứng minh với O là điểm bất kì

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm I, A, B và số thực k ≠ 1 thỏa mãn . Chứng minh với O là điểm bất kì ta có: $\overrightarrow{OI}=\left(\frac{1}{1-k}\right)\overrightarrow{OA}-\left(\frac{k}{1-k}\right)\overrightarrow{OB}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{IA}=k\overrightarrow{IB}\iff \overrightarrow{IA}-k\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

Xét vế phải của đẳng thức ta có:

$\left(\frac{1}{1-k}\right)\overrightarrow{OA}-\left(\frac{k}{1-k}\right)\overrightarrow{OB}=\left(\frac{1}{1-k}\right)\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}\right)-\left(\frac{k}{1-k}\right)\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}\right)$

$=\frac{1}{1-k}\overrightarrow{OI}+\frac{1}{1-k}\overrightarrow{IA}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{OI}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{IB}$

$=\left(\frac{1}{1-k}\overrightarrow{OI}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{OI}\right)+\left(\frac{1}{1-k}\overrightarrow{IA}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{IB}\right)$

$=\overrightarrow{OI}\left(\frac{1}{1-k}-\frac{k}{1-k}\right)+\frac{1}{1-k}\left(\overrightarrow{IA}-k\overrightarrow{IB}\right)$

$=\overrightarrow{OI}+\frac{1}{1-k}\overrightarrow{0}$

$=\overrightarrow{OI}$.