Bài 20 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 1

Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 3 - Chân trời sáng tạo

Bài 20 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ với mọi số tự nhiên n.

b) Tính $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} .$

Lời giải:

a) Với mọi số tự nhiên n, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ $= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})}$

$= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{{(\sqrt{n + 1})}^{2} - {(\sqrt{n})}^{2}}$ $= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n + 1 - n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} .$

Vậy $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ với mọi số tự nhiên n.

b) Áp dụng công thức ở câu a, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$

$= \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$

$= \sqrt{2} - \sqrt{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + ... + \sqrt{100} - \sqrt{99}$

$= - 1 + \sqrt{100} = - 1 + 10 = 9.$

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 3 hay khác: