Bài 14 trang 96 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.

Giải Toán lớp 10 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 14 trang 96 Toán 10 Tập 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.

a) Biểu thị các vectơ $\vec{D M}, \vec{A N}$ theo các vectơ $\vec{A B}, \vec{A D}$ .

b) Tính $\vec{D M} \cdot \vec{A N}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng DM và AN.

Lời giải:

Bài 14 trang 96 Toán 10 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Do đó, ta có: $\vec{D M} = \vec{A M} - \vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A D}$ .

Vì N là trung điểm của BC nên $\vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

Do ABCD là hình vuông nên $\vec{B C} = \vec{A D}$ . Khi đó, $\vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{A N} = \vec{A B} + \vec{B N} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ .

b) Do ABCD là hình vuông nên ta có: AB = AD = a, $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0$ (AB ⊥ AD).

Từ đó suy ra $\vec{D M} \cdot \vec{A N} = (\frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A D}) \cdot (\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D})$

$= \frac{1}{2} {(\vec{A B})}^{2} + \frac{1}{4} \vec{A B} \cdot \vec{A D} - \vec{A D} \cdot \vec{A B} - \frac{1}{2} {(\vec{A D})}^{2}$ .

$= \frac{1}{2} A B^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0 - 0 - \frac{1}{2} A D^{2}$

$= \frac{1}{2} (A B^{2} - A D^{2}) = 0$

Do đó: $\vec{D M} \cdot \vec{A N} = 0 \Leftrightarrow \vec{D M} ⊥ \vec{A N} \Leftrightarrow D M ⊥ A N$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng DM và AN bằng 90°.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> 7de0ce75c76253c52280308e94cf2d713ccea5e2