Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số - Cánh diều

Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$.

C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, ...

C_n là đường gồm 2ⁿ nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^n}$,...(Hình 4).

Gọi P_n là độ dài của C_n­, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Lời giải:

a)

+) Ta có: p₁ = $\frac{\pi R}{2}$; p₂ = $\frac{\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2^2}$; p₃ = $\frac{\pi R}{8}=\frac{\pi R}{2^3}$; ...

(p_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = $\frac{\pi R}{2}$và công bội q = $\frac{1}{2}$<1 có số hạng tổng quát p_n = $\frac{\pi R}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

+) Ta có: C₁ = $\frac{\pi R^2}{4}$; C₂ = $\frac{\pi R^2}{4^2}$; C₃ = $\frac{\pi R^3}{4^3}$; ...

(C_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C₁ = $\frac{\pi R^2}{4}$và công bội q = $\frac{1}{4}$<1có số hạng tổng quát C_n = $\frac{\pi R}{4}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 59 Toán 11 Tập 1: Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ....

• Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 Tập 1: Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (u_n), với u­_n = $\frac{1}{n}$ ....

• Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: a) lim 0 = 0 ....

• Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), với u_n = 2 + $\frac{1}{n}$ ....

• Luyện tập 2 trang 61 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: lim$\frac{-4n+1}{n}$=-4 ....

• Luyện tập 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: lim${\left(\frac{e}{\pi }\right)}^n$ = 0 ....

• Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n = 8+$\frac{1}{n}$ ....

• Luyện tập 4 trang 62 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) lim$\frac{8n^2+n}{n^2}$ ....

• Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), với u₁ = 1 và công bội q=$\frac{1}{2}$ ....

• Luyện tập 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Tính tổng M = 1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\mathrm{...}$ ....

• Luyện tập 6 trang 63 Toán 11 Tập 1: Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng ....

• Hoạt động 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Quan sát dãy số (u_n) với u­_n = n² và cho biết giá trị của n_n có thể lớn hơn ....

• Luyện tập 7 trang 64 Toán 11 Tập 1: Tính lim(– n³) ....

• Luyện tập 8 trang 64 Toán 11 Tập 1: Chứng tỏ rằng lim$\frac{n-1}{n^2}$=0 ....

• Bài 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n = 3 + $\frac{1}{n}$, v_n = 5 –$\frac{2}{n^2}$ ....

• Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) lim$\frac{5n+1}{2n}$ ....

• Bài 3 trang 65 Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n­), với u₁=$\frac{2}{3}$, q=-$\frac{1}{4}$ ....

• Bài 4 trang 65 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông ....

• Bài 5 trang 65 Toán 11 Tập 1: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm ....