Hoạt động 5 trang 66 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, (k ∈ ℤ)

Giải Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm - Cánh diều

Hoạt động 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x \neq \frac{π}{2} + k π$ (k ∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, $x \neq \frac{π}{2} + k π$ (k ∈ ℤ)

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = tan(x + ∆x) – tanx.

Suy ra $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{t a n (x + Δ x) - t a n x}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{\sin (x + Δ x)}{\cos (x + Δ x)} - \frac{\sin x}{\cos x}}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin (x + Δ x) \cos x - \cos (x + Δ x) \sin x}{Δ x \cdot \cos (x + Δ x) \cos x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin (x + Δ x - x)}{Δ x \cdot \cos (x + Δ x) \cos x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin Δ x}{Δ x \cdot \cos (x + Δ x) \cos x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin Δ x}{Δ x} \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{\cos (x + Δ x) \cos x}$

$= 1 \cdot \frac{1}{\cos (x + 0) \cos x} = \frac{1}{\cos^{2} x} .$

Vậy đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x \neq \frac{π}{2} + k π$ (k ∈ ℤ) là $y' = \frac{1}{\cos^{2} x} .$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác: