Hoạt động 6 trang 66 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ)

Giải Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm - Cánh diều

Hoạt động 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = cot(x + ∆x) – cotx.

Suy ra $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{c o t (x + Δ x) - c o t x}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{\cos (x + Δ x)}{\sin (x + Δ x)} - \frac{\cos x}{\sin x}}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\cos (x + Δ x) \sin x - \sin (x + Δ x) \cos x}{Δ x \cdot \sin (x + Δ x) \sin x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin (x - x - Δ x)}{Δ x \cdot \sin (x + Δ x) \sin x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin (- Δ x)}{Δ x \cdot \sin (x + Δ x) \sin x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{- \sin Δ x}{Δ x} \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{\sin (x + Δ x) \sin x}$

$= (- 1) \cdot \frac{1}{\sin (x + 0) \sin x} = - \frac{1}{\sin^{2} x} .$

Vậy đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ) là $y' = - \frac{1}{\sin^{2} x} .$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác: