Hoạt động 8 trang 67 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Bằng cách sử dụng kết quả tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa

Giải Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm - Cánh diều

Hoạt động 8 trang 67 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(x+\Delta x\right)-\ln x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}\right]=\frac{1}{x}\underset{\frac{\Delta x}{x}\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}=\frac{1}{x}$

Vậy đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì là $y^{\text{'}}=\frac{1}{x}.$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 64 Toán 11 Tập 2: Ta có thể tính đạo hàm của hàm số bằng cách sử dụng định nghĩa. Tuy nhiên, cách làm đó là không thuận lợi ....

• Hoạt động 1 trang 64 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = x² tại điểm x₀ bất kì bằng định nghĩa ....

• Luyện tập 1 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x²². ....

• Hoạt động 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa ....

• Luyện tập 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}$tại điểm x₀ = 9 ....

• Hoạt động 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$ tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.....

• Luyện tập 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}.$ ....

• Hoạt động 4 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì ....

• Luyện tập 4 trang 66 Toán 11 Tập 2: Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2 (s) ....

• Hoạt động 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số >y = tanx tại điểm x bất kì,$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k∈ ℤ).....

• Luyện tập 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$....

• Hoạt động 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ) ....

• Luyện tập 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}.$....

• Hoạt động 7 trang 67 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1,$tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại điểm x bất kì bằng định nghĩa ....

• Luyện tập 7 trang 67 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 10^x tại điểm x₀ = –1 ....

• Hoạt động 8 trang 67 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1,$tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa ....

• Luyện tập 8 trang 67 Toán 11 Tập 2: >Tính đạo hàm của hàm số f(x) = logx tại điểm $x_0=\frac{1}{2}.$ ....

• Hoạt động 9 trang 68 Toán 11 Tập 2: >Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b) cùng có đạo hàm tại điểm x₀ <∈<(a; b) ....

• Luyện tập 9 trang 68 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$< tại điểm x dương bất kì ....

• Luyện tập 10 trang 69 Toán 11 Tập 2: >Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx + cotx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{3}.$ ....

• Hoạt động 10 trang 69 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = f(u) = sinu; u = g(x) = x² ....

• Luyện tập 11 trang 69 Toán 11 Tập 2: >Hàm số y = log₂(3x + 1) là hàm hợp của hai hàm số nào ....

• Luyện tập 12 trang 71 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau ....

• Bài 1 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng ....

• Bài 2 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định....

• Bài 3 trang 71 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau ....

• Bài 4 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2^{3x + 2} ....

• Bài 5 trang 72 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau ....

• Bài 6 trang 72 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau....

• Bài 7 trang 72 Toán 11 Tập 2: Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v₀ = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/s²) ....

• Bài 8 trang 72 Toán 11 Tập 2: Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q₀. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q₀sinωt ....