10 Bài tập Trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 10 bài tập trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

10 Bài tập Trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(ABCD\right)$?

A. $\overrightarrow{AC}.$

B. $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}.$

C. $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}.$

D. $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình lập phương nên $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\perp \left(ABCD\right)$

Do đó, $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Câu 2. Phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. $x^2+2y+z-3=0.$

B. $x^2+y^2+z^2-2=0.$

C. $x^2+2y^2+z-5=0.$

D. $x+2y+z-4=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: $ax+by+cz+d=0$ trong đó a, b, c, d không đồng thời bằng 0.

Do đó, ta chọn D.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $A\left(-1;-1;-1\right).$

B. $B\left(1;1;1\right).$

C. $C\left(1;1;-1\right).$

D. $D\left(-3;0;0\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng, ta có:

Với điểm $A\left(-1;-1;-1\right),$ ta được: $-1+\left(-1\right)+\left(-1\right)-3=-6\ne 0.$

Do đó, mặt phẳng (P) không đi qua điểm $A\left(-1;-1;-1\right),$

Với điểm $B\left(1;1;1\right)$, ta được: $1+1+1-3=0$.

Do đó, mặt phẳng (P) đi qua điểm $B\left(1;1;1\right)$

Với điểm $C\left(1;1;-1\right),$ ta được: $1+1+\left(-1\right)-3=-2\ne 0.$

Do đó, mặt phẳng (P) không đi qua điểm $C\left(1;1;-1\right),$

Với điểm $D\left(-3;0;0\right)$, ta được: $-3+0+0-3=-6\ne 0.$

Do đó, mặt phẳng (P) không đi qua điểm $D\left(-3;0;0\right)$

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+z+1=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

A. $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right).$

B. $\overrightarrow{n}=\left(-2;1;-1\right).$

C. $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;-1\right).$

D. $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+z+1=0$ là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right).$

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P)?

A. $P\left(0;2;0\right).$

B. $Q\left(0;0;3\right).$

C. $M\left(1;2;3\right).$

D. $N\left(1;0;0\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy điểm $M\left(1;2;3\right)$ không thuộc mặt phẳng (P) do

$\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}=3\ne 1.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $A\left(2;1;3\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3;-1\right)$ là

A. $2x+3y-z-2=0.$

B. $2x+3y-z+2=0.$

C. $2x-y+3z-2=0.$

D. $2x-y+3z+2=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2\left(x-1\right)+3\left(y-1\right)+\left(-1\right)\left(z-3\right)=0$ hay $2x+3y-z-2=0.$

Câu 7. Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), biết $\overrightarrow{a}=\left(-1;-2;-2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-1;0;-1\right)$ là cặp vectơ chỉ phương của (P)?

A. $\overrightarrow{n}=\left(2;1;2\right).$

B. $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;-2\right).$

C. $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right).$

D. $\overrightarrow{n}=\left(-2;1;-2\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (P) bằng

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-2& -2\\ 0& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ -1& 0\end{array}\right|\right)=\left(2;1;-2\right).$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right).$

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left(3;-2;-2\right), B\left(3;2;0\right)$, $C\left(0;2;1\right)$. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. $2x-3y+6z+12=0.$

B. $2x-3y-6z-12=0.$

C. $2x-3y+6z=0.$

D. $2x+3y+6z+12=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(0;4;2\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-3;4;3\right)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ -3& 4\end{array}\right|\right)$ $=\left(4;-6;12\right)=2\left(2;-3;6\right).$

Suy ra $\overrightarrow{n}=\left(2;-3;6\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$2\left(x-3\right)+\left(-3\right)\left(y-2\right)+6\left(z-0\right)=0$ hay $2x-3y+6z=0.$

Câu 9. Trong không gian OXyz, cho điểm M(1; 2; 3). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục $Ox,Oy,Oz$. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.$

B. $-\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.$

C. $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=0.$

D. $\frac{x}{1}-\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có: A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục $Ox,Oy,Oz$ nên $A\left(1;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;3\right)$

Lúc này có phương trình mặt phẳng (ABC)  là: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.$

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):2x+my+3z-5=0$ và $\left(Q\right):nx-8y-6z+2=0$ với $m,n\in ℝ$. Xác định m, n để (P) song song với (Q).

A. $m=n=-4.$

B. $m=4;n=-4.$

C. $m=-4;n=4.$

D. $m=n=4.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=\left(2;m;3\right).$

Mặt phẳng (Q) có vectơ phép tuyến $\overrightarrow{n_Q}=\left(n;-8;-6\right).$

Để (P) song song với (Q) thì $\overrightarrow{n_P}=k\overrightarrow{n_Q}\left(k\in ℝ\right)\iff \left\{\begin{array}{l}2=kn\\ m=-8k\\ 3=-6k\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ m=4\\ n=-4.\end{array}\right.$