10 Bài tập Trắc nghiệm Ứng dụng hình học của tích phân (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 10 bài tập trắc nghiệm Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

10 Bài tập Trắc nghiệm Ứng dụng hình học của tích phân (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

I. Nhận biết

Câu 1. Thể tích V của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ khi quay quanh trục Ox là:

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

B. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $V={\pi }^2\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

D. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ được tính theo công thức

A. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

B. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

D. $S=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=-\mathrm{3,}x=2$. Đặt $a=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx,b=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=a+b.$

B. $S=a-b.$

C. $S=-a-b.$

D. $S=b-a.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S=\underset{-3}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

$=-\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=b-a.$

Câu 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3^x, y=\mathrm{0,}x=\mathrm{0,}x=2.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

B. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{2x}dx.$

C. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

D. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{2x}dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|3^x-0\right|dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ.$ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right), y=\mathrm{0,}x=-\mathrm{2,}x=3$(như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

B. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

D. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

          $=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={\left(x-2\right)}^2-1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\mathrm{1,}x=2$ bằng

A. $\frac{1}{3}.$

B. $\frac{2}{3}.$

C. $\frac{3}{2}.$

D. $\frac{7}{3}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|{\left(x-2\right)}^2-1\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx$

Có ${\left(x-2\right)}^2-1<\mathrm{0,}\forall x\in \left[1;2\right]$ nên $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+4x-3\right)dx={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\right|}_1^2=\frac{2}{3}.$

Câu 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+\mathrm{1,}x=-\mathrm{1,}x=2$ và trục hoành.

A. $S=16.$

B. S = 6

C. $S=\frac{13}{6}.$

D. $S=13.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+1\right|dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+1\right)dx={\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|}_{-1}^2=6.$

Câu 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=x^2+1$, trục hoành và các đường thẳng $x=\mathrm{0,}x=3$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

A. $V=12\pi .$

B. $V=\frac{348\pi }{5}.$

C. $V=32\pi .$

D. $V=9\pi .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $V=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x^2+1\right)}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^4+2x^2+1\right)dx$

           $=\pi {\left.\left(\frac{x^5}{5}+\frac{2}{3}{x}^3+x\right)\right|}_0^3=\frac{348\pi }{5}.$

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^3-6x,y=x^2$ (phần tô đậm trong hình sau) bằng:

A. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

B. $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

C. $S=\underset{-2}{\overset{9}{\int }}\left(x^2-x^3+6x\right)dx.$

D. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx+\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^3-6x-x^2\right|dx$

             $=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx$

III. Vận dụng

Câu 10. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v(km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh $I\left(\frac{1}{2};8\right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?

A. 4 km

B. 5 km

C. 4,5 km

D. 5,5 km.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi parabol là $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c$. Từ hình vẽ ta có (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 0); (1; 0) và $I\left(\frac{1}{2};8\right)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=0\\ \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-32\\ b=32\\ c=0.\end{array}\right.$

Suy ra $\left(P\right):y=-32x^2+32x.$

Đổi 45 phút = $\frac{3}{4}$ giờ.

Vậy quãng đường người đó đi được là

$s=\underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int }}\left(-32x^2+32x\right)dx={\left.\left(-\frac{32}{3}{x}^3+16x^2\right)\right|}_0^{\frac{3}{4}}=\mathrm{4,5}$ km