10 Bài tập Trắc nghiệm Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 10 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

10 Bài tập Trắc nghiệm Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

I. Nhận biết

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

A. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right).$

B. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C.$

C. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha -1}}{\alpha -1}+C\left(\alpha \ne -1\right)\text{. }$

D. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha }}{\alpha }+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right).$

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int f\left(x\right)g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx.\int g\left(x\right)dx.$

B. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C.$

C. $\int \sin xdx=-\cos x+C.$

D. $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 3. Hàm số $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\ln x$ nếu

A. $F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{\ln x},\forall x\in \left(0;+\infty \right).$

B. $F^{\text{'}}\left(x\right)=\ln x,\forall x\in \left(0;+\infty \right).$

C. $F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x},\forall x\in \left(0;+\infty \right).$

D. $F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x}\forall x\in \left(-\infty ;0\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, chọn mệnh đề đúng.

A. $\frac{1}{x}+C$ là họ nguyên hàm của hàm số $y=\ln x$ trên $\left(0;+\infty \right).$

B. $3x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $y=x^3$ trên $\left(-\infty ;+\infty \right).$

C. $\frac{1}{5}{x}^4$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{4}{5}{x}^3.$

D. Hàm số y = 2x là nguyên hàm của hàm số $y=x^2.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int \frac{4}{5}{x}^{3}dx=\frac{1}{5}{x}^4+C.$

Với C = 0 thì ta có $\frac{1}{5}{x}^4$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{4}{5}{x}^3.$

Câu 5. Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?

A. $\int \frac{dx}{x}=\ln x+C.$

B. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right).$

C. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right).$

D. $\int \left(n+1\right)x^{n}dx=n^{n+1}+C\left(n\in {\mathbb{Z}}^{+}\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+C$ với $x\ne 0.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3\cos x-1$ bằng

A. $\int \left(3\cos x-1\right)dx=3\sin x-x+C.$

B. $\int \left(3\cos x-1\right)dx=-3\sin x-x+C.$

C. $\int \left(3\cos x-1\right)dx=3\sin x-1+C.$

D. $\int \left(3\cos x-1\right)dx=-3\sin x+x+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \left(3\cos x-1\right)dx=3\int \cos xdx-\int 1dx=3\sin x-x+C$

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là

A. $2x-3-\frac{1}{x^2}+C.$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C.$

C. $\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \left(x^2-3x+\frac{1}{x}\right)dx$

           $=\int x^{2}dx-\int 3xdx+\int \frac{1}{x}dx$

           $=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C.$

Câu 8. Hàm số $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f\left(x\right)=2\sin x-3\cos x.$

B. $f\left(x\right)=-2\cos x+3\sin x.$

C. $f\left(x\right)=2\cos x+3\sin x.$

D. $f\left(x\right)=-2\cos x-3\sin x.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f\left(x\right)=F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(2\sin x-3\cos x+1\right)}^{\text{'}}$$=2\cos x+3\sin x$

Vậy $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2\cos x+3\sin x.$

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)$

A. $\frac{1}{3}{e}^{3x}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$ 

B. $\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$

C. $e^{3x}-3e^{-2x}+C.$

D. $e^{3x}+6e^{-2x}+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)dx$

          $=\int \left(e^{3x}-3e^{-2x}\right)dx$

         $=\int e^{3x}dx-3\int e^{-2x}dx$

         $=\frac{e^{3x}}{3}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C$

III. Vận dụng

Câu 10. Biết $\int \sin 3x{e}^{x}dx=F\left(x\right)+C$ và $F\left(0\right)+C=1$. Khi đó C bằng

A. $-\frac{7}{10}.$

B. $\frac{13}{10}.$

C. $-\frac{3}{10}.$

D. $\frac{3}{10}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\sin 3x\\ dv=e^x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}du=3\cos 3xdx\\ v=e^x\end{array}\right.$

Ta có: $I=\int \sin 3x.e^{x}dx=\sin 3x.e^x-3\int \cos 3x.e^{x}dx$(1)

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\cos 3x\\ dv=e^x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}du=-3\sin 3xdx\\ v=e^x\end{array}\right.$

Ta có: $\int \cos 3x.e^{x}dx=\cos 3x.e^x+3\int \sin 3x.e^{x}dx$(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$I=\int \sin 3x.e^{x}dx=\sin 3x.e^x-3\left(\cos 3x.e^x+3\int \sin 3x.e^{x}dx\right)$

$I=\int \sin 3x.e^{x}dx=\sin 3x.e^x-3\cos 3x.e^x-9I$

$10I=\sin 3x.e^x-3\cos 3x.e^x$

$I=\frac{1}{10}\left(\sin 3x-3\cos 3x\right)e^x+C$

Mà $F\left(0\right)+C=1\iff -\frac{3}{10}+C=1$ hay $C=\frac{13}{10}.$