10 Bài tập Trắc nghiệm Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 10 bài tập trắc nghiệm Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

10 Bài tập Trắc nghiệm Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

I. Nhận biết

Câu 1. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $0<P\left(B\right)<1,$ xác suất của biến cố A được tính theo công thức nào sau đây?

A. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

B. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(B|\overline{A}\right).$

C. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

D. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Công thức tính xác suất toàn phần: $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

Câu 2. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $0<P\left(B\right)$, xác suất để biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)}{P\left(B\right)}.$

B. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}.$

C. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)}.$

D. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B\right)}{P\left(A\right)}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

Do đó, công thức Bayes, còn có thể viết dưới dạng: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}.$

Câu 3. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $P\left(A\right)>0$ và $0<P\left(B\right)<1.$ Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra được tính theo công thức nào?

A. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

B. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}.$

C. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

D. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $P\left(A\right)>0$ và $0<P\left(B\right)<1.$

Ta có công thức $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

Câu 4. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn $P\left(A\right)=\mathrm{0,3,}P\left(B\right)=\mathrm{0,6}$ và $P\left(A|B\right)=\mathrm{0,4}$ thì $P\left(B|A\right)$ bằng

A. 0,5

B. 0,6

C. 0,8

D. 0,2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,6.0,4}}{\mathrm{0,3}}=\mathrm{0,8.}$

Câu 5. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,6};P\left(A|B\right)=\mathrm{0,7}$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,4.}$ Khi đó, $P\left(A\right)$ bằng

A. 0,7

B. 0,4

C. 0,58.

D. 0,52.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4.}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$$=\mathrm{0,6.0,7}+\mathrm{0,4.0,4}=\mathrm{0,58.}$

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,8};P\left(A|B\right)=\mathrm{0,7}$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,45.}$ Tính $P\left(A\right)$

A. 0,25

B. 0,65

C. 0,55

D. 0,5.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2.}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$$=\mathrm{0,8.0,7}+\mathrm{0,2.0,45}=\mathrm{0,65.}$

Câu 7. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,3};P\left(A\right)=\mathrm{0,4}$ và $P\left(A|B\right)=\mathrm{0,25.}$ Khi đó, $P\left(B|A\right)$ bằng

A. 0,1875.

B. 0,48

C. 0,333.

D. 0,95.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,3.0,25}}{\mathrm{0,4}}=\mathrm{0,1875.}$

Câu 8. Một trường liên cấp có 3 khối gồm khối tiểu học, khối THCS và khối THPT. Tỉ lệ học sinh mỗi khối như sau: Khối tiểu học chiếm 25%, khối THCS chiếm 45%, khối THPT chiếm 30%. Xác suất học sinh tham gia ngoại khóa ở các khối tương ứng 30% khối tiểu học, 50% khối THCS, 40% khối THPT. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. tính xác suất để học sinh được chọn tham gia hoạt động ngoại khóa.

A. 0,42.

B. 0,24.

C. 0,3

D. 0,25.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối tiểu học”,

       B là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối THCS”,

       C là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối THPT”,

       D là biến cố: “Học sinh tham gia hoạt động ngoại khóa”.

Theo đề, ta có: P(A) = 0,25; P(B) = 0,45; P(C) = 0,3;

                         P(D | A) = 0,3; P(D | B) = 0,5; P(D | C) = 0,4.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, có:

Xác suất học sinh tham gia ngoại khóa của trường đó là:

P(D) = P(A).P(D | A) + P(B).P(D | B) + P(C).P(D | C)

         = 0,25.0,3 + 0,45.0,5 + 0,3.0,4 = 0,42.

Câu 9. Một công ty du lịch bố trí chỗ cho đoàn khách tại ba khách sạn A, B, C theo tỉ lệ 20%, 50%, 30%. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở khách sạn lần lượt là 5%, 4% và 8%. Tính xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng.

A. $\frac{2}{500}.$

B. $\frac{27}{500}.$

C. $\frac{7}{500}.$

D. $\frac{23}{500}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có:

Tỉ lệ khách ở khách sạn A là: P(A) = 0,2.

Tỉ lệ khách ở khách sạn B là: P(B) = 0,5.

Tỉ lệ khách ở khách sạn C là: P(C) = 0,3.

Gọi H là biến cố: “Phòng có điều hòa bị hỏng ở khách sạn”.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn A là: P(H | A) = 0,05.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn B là: P(H | B) = 0,04.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn C là: P(H | C) = 0,08.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng là:

P(H) = P(H | A).P(A) + P(H | B).P(B) + P(H | C).P(C)

         = 0,05.0,2 + 0,04.0,5 + 0,08.0,3 = 0,054 = $\frac{27}{500}.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó 50 viên màu đỏ, 30 viên màu vàng ; các viên có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% viên bi màu vàng đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Khi đó:

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30.

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 15.

c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên vi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là $\frac{3}{5}.$

d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là $\frac{7}{16}.$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 1.

B. 2.

C. 3

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

a) Theo đề, ta có số viên bi màu đỏ có đánh số là 60%.50 = 30.

Vậy ý a đúng.

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 30.(1 – 50%) = 15.

Vậy ý b đúng.

c) Gọi A là biến cố: “Viên bi được lấy ra có đánh số”,

           B là biến cố: “Viên bi được lấy ra có màu đỏ”,

$\overline{B}$ là biến cố: “Viên bi được lấy ra có màu vàng”.

Lúc này ta tính P(A) theo công thức: P(A) = P(B).P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A |$\overline{B}$).

Theo đề bài, ta có: P(B) = $\frac{50}{80}=\frac{5}{8}$; P($\overline{B}$) = $\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$; P(A | B) = 60% = $\frac{3}{5}$;

                    P(A |$\overline{B}$) = 100% − 50% = 50% = $\frac{1}{2}.$

Vậy P(A) = P(B).P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A |$\overline{B}$) = $\frac{5}{8}.\frac{3}{5}+\frac{3}{8}.\frac{1}{2}=\frac{9}{16}.$

Vậy ý c sai.

d) Có A là biến cố “Viên bi được lấy ra có đánh số”

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố “Viên bi được lấy ra không có đánh số”.

Ta có: P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}.$

Vậy ý d đúng.

Vậy có 3 ý đúng.