10 Bài tập Trắc nghiệm Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 10 bài tập trắc nghiệm Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

10 Bài tập Trắc nghiệm Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có đáp án) - Cánh diều Toán 12

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$.

Vectơ nào sau đây cùng phương với $\overrightarrow{BC}$?

A. $\overrightarrow{DC}.$

B. $\overrightarrow{DA}.$

C. $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}.$

D. $\overrightarrow{C^{\text{'}}C}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Vectơ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ là $\overrightarrow{DA}.$

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABC$. Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{AB}$ là

A. $\overrightarrow{BS}.$

B. $\overrightarrow{BA}.$

C. $\overrightarrow{SB}.$

D. $\overrightarrow{SC}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}$

Câu 3. Cho khối lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Khi đó, góc giữa vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{AD}$ là

A. $90°.$

B. $60°.$

C. $45°.$

D. $30°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=90°.$

Câu 4. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=90°.$

B. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°.$

C. $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=90°.$

D. $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=45°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình lập phương.

Do đó, $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{DAB}=90°;$

           $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=45°$

           $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=90°;$

           $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{C^{\text{'}}C},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=180°-\widehat{C^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}}=135°.$

Câu 5. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ là: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Gọi M là trung điểm của cạnh $B{B}^{\text{'}}$. Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}.$

B. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}.$

C. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}.$

D. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}.$

Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm tam giác BCD. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}.$

B. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}.$

C. $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CG}.$

D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$, suy ra đáp án A đúng.

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA}$ , suy ra đáp án B sai.

$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{CG}\iff$$\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CG}\iff \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CG}.$

Suy ra đáp án C đúng.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{AG.}$

Do đó, đáp án D đúng.

Vậy chọn B.

Câu 8. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

A. $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$

B. $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$

C. $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$

D. $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{B\text{'}B}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$

Câu 9. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.$

B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0.$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-1.$

D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ nên $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$

Suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=$$\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\cos 0°=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60°$. Biết $\overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{g}$ trong đó $\overrightarrow{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10m/s², $\overrightarrow{P}$ là trọng lượng của vật có đơn vị kg.

Khi đó:

a) $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD}$ là 4 vectơ đồng phẳng.

b) $\left|\overrightarrow{SA}\right|=\left|\overrightarrow{SB}\right|=\left|\overrightarrow{SC}\right|=\left|\overrightarrow{SD}\right|.$

c) Độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm bằng $50N$

d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng $\frac{25\sqrt{3}}{2}N$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

a) Đúng.

b) Đúng. Do $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên $\left|\overrightarrow{SA}\right|=\left|\overrightarrow{SB}\right|=\left|\overrightarrow{SC}\right|=\left|\overrightarrow{SD}\right|.$

c) Đúng. Độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm là: $P=mg=5.10=50N.$

d) Sai. Ta có là hình chóp tứ giác đều ⇒ $SA=SB=SC=SD$ và $\widehat{ASC}=60°$ nên tam giác $SAC$ đều.

Gọi O là trung điểm AC

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với mọi lực hay $4\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{P}$ hay $4SO=P$ ⇔ $SO=\mathrm{12,5}$

Xét tam giác đều $SAC$ có $SA=\frac{\sqrt{3}}{2}SO=\frac{25\sqrt{3}}{4}.$

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là $\frac{25\sqrt{3}}{4}N$