Bài 1.8 trang 14 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hàm số y = f(x) = |x|.

Giải Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.8 trang 14 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = |x|.

a) Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ và $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ .

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x = 0 (xem hình 1.4).

Lời giải:

a) $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1.$

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x}{x} = - 1.$

Do $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \neq \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

b) Theo định nghĩa, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x₀ nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) và x ≠ x₀.

Ở đây, x₀ = 0. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(0) với mọi x ∈ (– h; h).

Với mọi x ∈ (– h; h), ta có |x| < h.

Mà |x| > 0, với mọi x ≠ 0. Do đó f(x) = |x| > 0 = f(0), với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ 0.

Vậy ta chứng minh được rằng với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ x₀, f(x) > f(0). Điều này chứng tỏ rằng hàm số có cực tiểu tại x = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số hay, chi tiết khác: