Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f'(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Giải Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge \mathrm{0,}$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f'(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Lời giải:

Có $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}}=\frac{5000e^t}{e^t+5}$.

Có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{5000e^t\left(e^t+5\right)-5000e^{2t}}{{\left(e^t+5\right)}^2}=\frac{25000e^t}{{\left(e^t+5\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall t>0$.

Có $f"\left(t\right)=\frac{25000e^t.{\left(e^t+5\right)}^2-50000e^t\left(e^t+5\right)e^t}{{\left(e^t+5\right)}^4}$

$=\frac{25000e^t.\left(e^t+5\right)\left(e^t+5-2e^t\right)}{{\left(e^t+5\right)}^4}$

$=\frac{25000e^t.\left(5-e^t\right)}{{\left(e^t+5\right)}^3}$

Có f"(t) = 0 ⇔ 5 – e^t = 0 ⇔ t = ln5.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có sau ln5 năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 5 Toán 12 Tập 1: Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1) ....

• HĐ1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số y = x2 (H.1.2) ....

• Luyện tập 1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Hình 1.5 là đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² + 2. Hãy tìm các khoảng đồng biến ....

• HĐ2 trang 7 Toán 12 Tập 1: Xét hàm số $y=\left\{\begin{array}{l}-xn{ê}^{\text{'}}ux<-1\\ 1n{ê}^{\text{'}}u-1\le x\le 1\\ xn{ê}^{\text{'}}ux>1\end{array}\right.$ có đồ thị như hình 1.6 ....

• Luyện tập 2 trang 7 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = −x² + 2x + 3 ....

• HĐ3 trang 7 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2x + 1 ....

• Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau ....

• Vận dụng 1 trang 9 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau ....

• HĐ4 trang 9 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số y = x³ + 3x² – 4 (H.1.7) ....

• Luyện tập 4 trang 10 Toán 12 Tập 1: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số ....

• HĐ5 trang 10 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$. ....

• Câu hỏi trang 11 Toán 12 Tập 1: Giải thích vì sao nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x₀ thì x₀ không phải là điểm cực trị ....

• Luyện tập 5 trang 12 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau ....

• Vận dụng 2 trang 12 Toán 12 Tập 1: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s ....

• Bài 1.1 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau ....

• Bài 1.2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau ....

• Bài 1.3 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau ....

• Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau ....

• Bài 1.5 trang 13 Toán 12 Tập 1: Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số ....

• Bài 1.6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Đồ thị của đạo hàm bậc nhất y = f'(x) của hàm số f(x) được cho trong hình 1.13 ....

• Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau ....

• Bài 1.8 trang 14 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = |x| ....