Bài 9.46 trang 111 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

❮ Bài trước Bài sau ❯

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 9 (trang 110, 111) - Kết nối tri thức

Bài 9.46 trang 111 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

a) $\frac{B D}{B C} = \frac{A B}{A B + A C}$ , từ đó suy ra $A E = \frac{A B \cdot A C}{A B + A C}$ ;

b) ∆DFC ∽ ∆ABC;

c) DF = DB.

Bài 9.46 trang 110 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Lời giải:

a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .

Suy ra BD . AC = DC . AB. (*)

Xét BD . (AB + AC) = BD . AB + BD . AC

= BD . AB + DC . AB (do (*))

= AB . (BD + DC)

= AB . BC.

Vậy BD . (AB + AC) = AB . BC. Suy ra $\frac{B D}{B C} = \frac{A B}{A B + A C}$ . (1)

Hai tam giác CED vuông tại E và tam giác CAB vuông tại A có góc nhọn C chung nên

∆CED ∽ ∆CAB.

Suy ra $\frac{C E}{C A} = \frac{C D}{C B} \Rightarrow \frac{A C - A E}{A C} = \frac{B C - B D}{B C} \Rightarrow 1 - \frac{A E}{A C} = 1 - \frac{D B}{B C}$ .

Do đó, $\frac{A E}{A C} = \frac{D B}{B C}$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{A E}{A C} = \frac{A B}{A B + A C}$ , do đó $A E = \frac{A B \cdot A C}{A B + A C}$ .

b) Hai tam giác DFC vuông tại D và tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn C chung nên

∆DFC ∽ ∆ABC.

c) Vì ∆DFC ∽ ∆ABC nên $\frac{D F}{A B} = \frac{D C}{A C} \Rightarrow D F = \frac{A B \cdot D C}{A C}$ . (3)

Từ (*) ta có $D B = \frac{D C \cdot A B}{A C}$ . (4)

Từ (3) và (4) suy ra DB = DF.

Lời giải bài tập Toán 8 Bài tập cuối chương 9 (trang 110, 111) hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯