Tổng hợp lý thuyết Chương 4: Bất đẳng thức, Bất phương trình hay, chi tiết - Toán lớp 10

---

Tổng hợp lý thuyết Chương 4: Bất đẳng thức, Bất phương trình hay, chi tiết

Tài liệu Tổng hợp lý thuyết Chương 4: Bất đẳng thức, Bất phương trình hay, chi tiết Toán lớp 10 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Chương 4: Bất đẳng thức, Bất phương trình từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 10.

• Lý thuyết Bất đẳng thức
• Lý thuyết Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
• Lý thuyết Dấu của nhị thức bậc nhất
• Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai
• Lý thuyết Tổng hợp Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

Lý thuyết Bất đẳng thức

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề “a > b => c > d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c > d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a > b và cũng viết là a > b => c > d.

Nếu bất đẳng thức a > b là hệ quả của bất đẳng thức c > d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a > b <=> c > d.

3. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a > b ta chỉ cần chứng minh a – b > 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

Chú ý

Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI)

1. Bất đẳng thức Cô-si

Định lí

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

2. Các hệ quả

Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

a + ≥ 2, ∀a > 0.

Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Hệ quả 3

Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

III. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Lý thuyết Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bài giảng: Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên VietJack)

I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x.

Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái của bất phương trình (1). Số thực x0 sao cho f(x_o) < g(x_o), (f(x_o) ≤ g(x_o)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

Chú ý:

Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x) (g(x) ≥ f(x)).

2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

3. Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

II. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

III. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương đó.

2. Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

3. Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) <=> P(x) – f(x) < Q(x) – f(x)

4. Nhân (chia)

Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) < Q(x).f(x), f(x) > 0, ∀x

P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x), f(x) < 0, ∀x

5. Bình phương

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) <=> P₂(x) < Q₂(x), P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, ∀x

6. Chú ý

Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau

Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình.

Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp

P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.

P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết

P(x) < Q(x) <=> –Q(x) < –P(x)

rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.