Các dạng bài tập Giới hạn của hàm số chọn lọc, có lời giải - Toán lớp 11
Các dạng bài tập Giới hạn của hàm số chọn lọc, có lời giải
Với Các dạng bài tập Giới hạn của hàm số chọn lọc, có lời giải Toán lớp 11 tổng hợp các dạng bài tập, 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Giới hạn của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
- Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa Xem chi tiết
- Tìm giới hạn hàm số dạng vô định Xem chi tiết
- Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng Xem chi tiết
- Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng Xem chi tiết
- Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng, vô cùng trên vô cùng Xem chi tiết
- Cách tính giới hạn của hàm số có chứa căn thức cực hay, chi tiết Xem chi tiết
- Cách tính giới hạn của hàm số có chứa trị tuyệt đối cực hay, chi tiết Xem chi tiết
- Cách tính giới hạn của hàm số lượng giác cực hay, chi tiết Xem chi tiết
- Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết Xem chi tiết
- 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án Xem chi tiết
Cách tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ta sử dụng phương pháp chung để làm các bài toán dạng này.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?
Hướng dẫn:
Bài 3: Tìm m để các hàm số:
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
Ta có:
Cách tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Bài toán: Tính giới hạn
Ta có thể biến đổi 
về dạng 0/0 hoặc ∞/∞ rồi dùng các phương pháp tính giới hạn của hai dạng kia để làm.
Tuy nhiên, trong nhiều bài tập ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn, quy đồng mẫu thức …. Là có thể đưa về dạng quen thuộc.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tính giới hạn: 
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 2: Tính giới hạn: 
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 3: Tính giới hạn: 
Hướng dẫn:
Cách tính giới hạn của hàm số có chứa trị tuyệt đối
A. Phương pháp giải
a) Dạng 1: Tìm giới hạn của 
với f(x) là các hàm đa thức, phân thức,…
- Bước 1: Tính giới hạn của 
(đưa về các giới hạn đã biết để tính)
- Bước 2: Suy ra 
b) Dạng 2: Tìm giới hạn của 
- Bước 1: Xét dấu của các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu trị tuyệt đối
● Sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối: 
● Sử dụng định nghĩa về giới hạn một bên: 
- Bước 2: Thực hiện tính toán, đưa về các giới hạn của đa thức, phân thức,… thường gặp rồi tìm giới hạn.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
Hướng dẫn giải:
a) Ta có x →(-3)+ suy ra x + 3 > 0 thì 2x + 6 = 2(x + 3) > 0
Do đó |2x + 6| = 2x + 6
b) Ta có x →(-5)- suy ra x + 5 < 0 thì 3x + 15 = 3(x + 5) < 0
Do đó |3x + 15| = –3x – 15
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: Giá trị của giới hạn 
Hướng dẫn giải:
Ta tính giới hạn như hàm phân thức bình thường.
Đáp án C
Cách tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Tìm 
trong đó f(x0) = g(x0) = 0
Dạng này ta gọi là dạng vô định 0/0
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có :f(x) = (x-x0)f1(x)
* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích
f(x) = (x-x0)f1(x)và : g(x) = (x-x0)g1(x).
Khi đó 
, nếu giới hạn này có dạng 0/0 thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm các giới hạn sau: 
Hướng dẫn:
Ta có: 
Bài 2: Tìm giới hạn sau: 
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 3: 
Hướng dẫn:
Đặt t = x - 1 ta có:
Bài 4: 
Hướng dẫn:
Ta có:
Nên ta có B = 1 + 1 + 1 = 3
Bài 5: 
Hướng dẫn:
Ta có:
Vậy A = -2/3
Bài 6: 
Hướng dẫn:
Ta có:
Mà
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: 
bằng số nào sau đây?
Lời giải:
Đáp án: A
Đáp án là A
Bài 2: 
bằng
A. 5 B. 1 C. 5/3 D. -5/3
Lời giải:
Đáp án: C
Đáp án là C
Bài 3: 
bằng:
A. 0 B. 4/9 C. 3/5 D. +∞
Lời giải:
Đáp án: C
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x4 ta có
Đáp án C
Bài 4: 
bằng:
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
Lời giải:
Đáp án: B
Đáp án là B
Bài 5: 
bằng:
A. -∞ B. 3/5 C. -2/5 D. 0
Lời giải:
Đáp án: D
Đáp án là D
Bài 6: 
bằng:
Lời giải:
Đáp án: D
Đáp án là D
Bài 7: 
bằng:
A. -3
B. -1
C. 0
D. 1
Lời giải:
Đáp án: D
Đáp án là D
Bài 8: 
bằng:
A. -2/3 B. -1/3 C. 0 D. 1/3
Lời giải:
Đáp án: B
Đáp án là B
Bài 9: 
bằng:
A. +∞
B. 4
C. 0
D. -∞
Lời giải:
Đáp án: C
Đáp án C
Bài 10: 
bằng:
A. 0 B. -1 C. -1/2 D. -∞
Lời giải:
Đáp án: A
Đáp án A
Bài 11: 
bằng:
A. 1/4 B. 1/6 C. 1/8 D. -1/8
Lời giải:
Đáp án: C
Đáp án C
Bài 12: 
bằng:
A. +∞ B. 1/8 C. -9/8 D. -∞
Lời giải:
Đáp án: D
Tử số có giới hạn là -1, mẫu số có giới hạn là 0 và khi x < -2 thì x2 + 2x > 0. Do đó
Đáp án D
Bài 13: 
bằng:
A. 0 B. -1/6 C. -1/2 D. -∞
Lời giải:
Đáp án: A
Đáp án A
Bài 14: 
bằng:
A. +∞ B. 2/5 C. -7 D. -∞
Lời giải:
Đáp án: C
Đáp án C
Bài 15: 
bằng:
A. 2/3 B. 1/2 C. -2/3 D. -1/2
Lời giải:
Đáp án: C
Đáp án C
