Bài 3.11 trang 52 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3.11 trang 52 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 6: Hypebol. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3.11 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Lời giải:

Xét hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d₁ : $y=-\frac{b}{a}x$ hay bx + ay = 0 và d₂ : $y=\frac{b}{a}x$ hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d₁) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$, d(M, d₂) = $\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$.

⇒ d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}.\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}=\frac{\left|{\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2\right|}{a^2+b^2}$ (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2{b}^2-a^2{y}^2}{a^2{b}^2}=1$

⇒ ${\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2=a^2{b}^2$

Thay vào (*) ta được: d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{\left|a^2{b}^2\right|}{a^2+b^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$ (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.