Bài 3.12 trang 53 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3.12 trang 53 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 6: Hypebol. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3.12 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292000 km/s. Một tàu thuỷ nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.

a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.

b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.

c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu. Từ đó, tính toạ độ của M (các số được làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).

Lời giải:

Gọi vận tốc phát tín hiệu là v (theo đề bài v = 292000 km/s);

t_A, t_B, t_C, t_D lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm A, B, C, D;

M là vị trí của tàu thuỷ.

a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là:

MB – MC = v.t_B – v.t_C = v(t_B – t_C) = 292000 . 0,0005 = 146 (km).

b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D là:

MA – MD = v.t_D – v.t_A = v(t_D – t_A) = 292000 . 0,001 = 292 (km).

c)

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H₁) nhận B, C làm tiêu điểm là $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$ (a₁ > 0, b₁ > 0).

Vì MB – MC = 146 nên 2a₁ = 146 ⇒ a₁ = 73 ⇒ $a_1^2$ = 5329.

Ta thấy B(–100; 0) và C(100; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c₁ = 100

⇒ $b_1^2=c_1^2-a_1^2$ = 100² – 73² = 4671.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H₁) là $\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{4671}=1.$

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H₂) nhận A, D làm tiêu điểm là $\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1$ (a₂ > 0, b₂ > 0).

Vì MA – MD = 29,2 nên 2a₂ = 292 ⇒ a₂ = 146 ⇒ = 21316.

Ta thấy A(–300; 0) và D(300; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c₂ = 300

$\Rightarrow b_2^2={\mathrm{c}}_2^2-a_2^2$ = 300² – 146² = 68684.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H₂) là $\frac{x^2}{21316}-\frac{y^2}{68684}=1.$

Gọi toạ độ của M là (x; y). Vì M thuộc cả (H₁) và (H₂) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{4671}=1\\ \frac{x^2}{21316}-\frac{y^2}{68684}=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{341125277}{12500}\\ y^2=\frac{240617223}{12500}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\approx 165\\ y\approx 139\end{array}\right.$

(vì theo hình vẽ x, y > 0)

d) MB = $\sqrt{{\left[165-\left(-100\right)\right]}^2+{\left(139-0\right)}^2}$ ≈ 299 (km);

MC = $\sqrt{{\left(165-100\right)}^2+{\left(139-0\right)}^2}$ ≈ 153 (km).