Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 6: Hypebol. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;

b) (H) có tiêu cự bằng 2$\sqrt{13}$, một đường tiệm cận là y = $\frac{2}{3}$x;

c) (H) có tâm sai e = $\sqrt{5}$, và đi qua điểm ($\sqrt{10}$;6).

Lời giải:

a)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có nửa trục thực bằng 4 ⇒ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự bằng 10 ⇒ 2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 2$\sqrt{13}$ ⇒ 2c = 2$\sqrt{13}$ ⇒ c = $\sqrt{13}$.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là y = $\frac{2}{3}$x ⇒ $\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{b}{2}=\frac{a}{3}\Rightarrow \frac{b^2}{4}=\frac{a^2}{9}=\frac{b^2+a^2}{4+9}=\frac{c^2}{13}=\frac{{\left(\sqrt{13}\right)}^2}{13}=1$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{b}^2=4\\ a^2=9\end{array}\right..$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1.$

c)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tâm sai e = $\sqrt{5}$ ⇒ $\frac{c}{a}$ = $\sqrt{5}$

$\Rightarrow c=a\sqrt{5}\Rightarrow c^2=5a^2\Rightarrow b^2=c^2-a^2=4a^2$ (1).

+) Hypebol đi qua điểm ($\sqrt{10}$;6) ⇒ $\frac{{\left(\sqrt{10}\right)}^2}{a^2}-\frac{6^2}{b^2}=1$ ⇒ $\frac{10}{a^2}-\frac{36}{b^2}=1$ (2).

Thế (1) vào (2) ta được:

$\Rightarrow \frac{10}{a^2}-\frac{36}{4a^2}=1\Rightarrow \frac{10}{a^2}-\frac{9}{a^2}=1\Rightarrow \frac{1}{a^2}=1\Rightarrow a^2=1\Rightarrow b^2=4.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1.$