Cho hàm số y = cos2x Chứng minh rằng cos2(x + kπ) = cos2x với mọi số

Ôn tập cuối năm (phần Đại số và Giải tích)

Bài 1 trang 178 Toán 11: Cho hàm số y = cos2x

a) Chứng minh rằng cos2(x + kπ) = cos2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos2x.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ y = π/3 .

c) Tìm tập xác định của hàm số:

Trả lời

a) Ta có: cos2(x + kπ) = cos(2x + 2kπ) = cos2x , ∀k ∈ Z , ∀x ∈ R.

Đồ thị hàm y = cos2x

b) Ta có: y’ = –2sin2x ⇒ y’( π/3 ) = –2sin(2π/3) = – √3

Mặt khác điểm trên đồ thị (C ) có hoành độ là π/3 thì có tung độ y = cos 2π/3 hay y = – 1/2 . Vì vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm ( π/3 ; – 1/2 ) có dạng:

c) Dễ thấy 1 + cos²2x ≥ 1, ∀x ∈ R, do đó hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 1 – cos2x ≥ 0 ⇔ cos2x ≤ 1 được thỏa mãn với ∀x ∈ R.

Vậy tập xác định của hàm số là tập R.