Chứng minh rằng hàm số f(x) = e^x-x-1 đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞)

Câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 1 trang 211 sgk Giải Tích 12 nâng cao được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp bạn biết cách làm bài tập môn Toán 12.

Bài 1 (trang 211 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = e^x-x-1 đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞)

b) Từ đó suy ra e^x>x+1 với mọi x > 0

Lời giải:

a) Ta có: f’(x) = (e^x-x-1)'=e^x-1

f' (x)≥0 <=> e^x-1≥0 <=> e^x≥1 <=> x ≥0

Vậy f(x) đồng biến trên [0; +∞)

b) Vì f(x) = e^x-x-1 đồng biến trên [0; +∞) nên:

f(x)>f(0)với mọi x > 0, mà f(0) = 0 nên ta có:

f(x)>0 <=> e^x-x-1>0 <=> e^x>x+1 (đpcm)