Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.43 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ $\vec{A G}$ bằng

A. $\sqrt{3};$

B. $\frac{3 \sqrt{3}}{2};$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2};$

D. $2 \sqrt{3} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và $\hat{B A C} = 60 ° .$

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow {(\vec{A B} + \vec{A C})}^{2} = {(2 \vec{A M})}^{2}$

$\Rightarrow A B^{2} + 2. \vec{A B} . \vec{A C} + A C^{2} = 4 A M^{2}$

$\Rightarrow A B^{2} + 2. A B . A C . c os \hat{B A C} + A C^{2} = 4 A M^{2}$

$\Rightarrow$ 3² + 2.3.3.cos60° + 3² = 4.AM²

$\Rightarrow$ 4.AM² = 27

$\Rightarrow$ AM² = $\frac{27}{4}$

$\Rightarrow$ AM = $\sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$ AM

$\Rightarrow$ AG = $\frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} .$

Vậy ta chọn phương án A.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: