Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.61 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\hat{C A B} = 60 ° .$

a) Tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A B} . \vec{B C} .$

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn $2 \vec{A M} + 3 \vec{M C} = \vec{0}$ và $\vec{N B} + x \vec{N C} = \vec{0}$ (x ≠ –1). Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Lời giải:

a) Ta có:

• $\vec{A B} . \vec{A C}$ = AB. AC.cos $\hat{B A C}$ = 4.5.cos60° = 10.

• $\vec{A B} . \vec{B C} = \vec{A B} . (\vec{A C} - \vec{A B})$

= $\vec{A B} . \vec{A C}$ – AB²

= 10 – 4²

= 10 – 16

= –6

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = 10,$ $\vec{A B} . \vec{B C} = - 6.$

b) Ta có

• $2 \vec{A M} + 3 \vec{M C} = \vec{0}$

$\Rightarrow 2 (\vec{B M} - \vec{B A}) + 3 (\vec{B C} - \vec{B M}) = \vec{0}$

$\Rightarrow 2 \vec{B M} - 2 \vec{B A} + 3 \vec{B C} - 3 \vec{B M} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{B M} = - 2 \vec{B A} + 3 \vec{B C}$

$= 2 \vec{A B} + 3 (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} - 3 \vec{A B}$

$= 3 \vec{A C} - \vec{A B}$

• $\vec{N B} + x \vec{N C} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} - \vec{A N} + x (\vec{A C} - \vec{A N}) = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} - \vec{A N} + x \vec{A C} - x \vec{A N} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} + x \vec{A C} - (1 + x) \vec{A N} = \vec{0}$

$\Rightarrow (1 + x) \vec{A N} = \vec{A B} + x \vec{A C}$

Do đó:

$(1 + x) \vec{A N} . \vec{B M} = (\vec{A B} + x \vec{A C}) . (3 \vec{A C} - \vec{A B})$

$= 3 \vec{A B} . \vec{A C} - A B^{2} + 3 x A C^{2} - x \vec{A B} . \vec{A C}$

$= (3 - x) \vec{A B} . \vec{A C} - A B^{2} + 3 x A C^{2}$

= (3 – x).10 – 4² + 3x.5²

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN ⊥ BM thì $\vec{A N} . \vec{B M} = 0$

$\Leftrightarrow (1 + x) \vec{A N} . \vec{B M} = 0$ (với x ≠ –1)

$\Leftrightarrow$ 65x + 14 = 0

$\Leftrightarrow$ x = $- \frac{14}{65}$

Vậy với x = $- \frac{14}{65}$ thì AN ⊥ BM.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71