Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{N P}$ bằng

A. $\frac{2}{3};$

B. $- \frac{1}{2};$

C. 0;

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• 2BM = MC $\Rightarrow$ $\frac{M C}{M B} = \frac{2}{1}$

• CN = 2NA $\Rightarrow$ $\frac{C N}{N A} = \frac{2}{1}$

• AP = 2PB $\Rightarrow$ $\frac{A P}{P B} = \frac{2}{1}$

$\Rightarrow \frac{M C}{M B} = \frac{C N}{N A} = \frac{A P}{P B} (= \frac{2}{1})$

$\Rightarrow$ MN // AB và PM // AC (định lí Talet đảo)

$\Rightarrow$ ANMP là hình bình hành

Mặt khác:

• $\frac{C N}{N A} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{C N}{N A + C N} = \frac{2}{1 + 2}$

$\Rightarrow$ $\frac{C N}{C A} = \frac{2}{3}$

• MN // AB $\Rightarrow$ $\frac{M N}{A B} = \frac{C N}{C A} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ MN = $\frac{2}{3}$ .AB = $\frac{2}{3}$ .1 = $\frac{2}{3} .$

• $\frac{C N}{C A} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ CN = $\frac{2}{3} .$ CA = $\frac{2}{3}$ .2 = $\frac{4}{3} .$

$\Rightarrow$ AN = CA – CN = 2 – $\frac{4}{3}$

$\Rightarrow$ AN = $\frac{2}{3} .$

Do đó MN = AN = $\frac{2}{3} .$

Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi

Khi đó hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau

$\Rightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{N P}$ $\Rightarrow \vec{A M} . \vec{N P} = 0.$

Vậy ta chọn phương án C.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71