Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.57 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{M C}$ bằng

A. $\frac{a^{2}}{2};$

B. $- \frac{a^{2}}{2};$

C. a²;

D. –a².

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{B M}{M C} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{B M}{B M + M C} = \frac{2}{2 + 1}$

Hay $\frac{B M}{B C} = \frac{2}{3} \Rightarrow B M = \frac{2}{3} B C$

Do đó $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

Tương tự ta có $\vec{M C} = \frac{1}{3} \vec{B C} .$

• $\vec{M A} = \vec{B A} - \vec{B M} = - \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{B C}$

$= - \vec{A B} - \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= - \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

• $\vec{M C} = \frac{1}{3} \vec{B C} = \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$

• Khi đó:

$\vec{M A} . \vec{M C} = (- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}) . (\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B})$

$= - \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{9} A B^{2} - \frac{2}{9} A C^{2} + \frac{2}{9} \vec{A B} . \vec{A C}$

$= \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{9} A B^{2} - \frac{2}{9} A C^{2}$

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và $\hat{B A C} = 60 ° .$

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

= 3a.3a.cos60° = $\frac{9}{2} a^{2} .$

Do đó $\vec{M A} . \vec{M C} = \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{9} A B^{2} - \frac{2}{9} A B^{2}$

$= \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{9} A B^{2}$

$= \frac{1}{9} . \frac{9}{2} a^{2} - \frac{1}{9} . {(3 a)}^{2}$

= $\frac{1}{2}$ a² – a² = $- \frac{1}{2}$ a².

Vậy $\vec{M A} . \vec{M C} =$ $- \frac{1}{2}$ a².

Ta chọn phương án B.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71