Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.64 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

Lời giải:

• Vì E là trung điểm của AB nên $\vec{A E} = \vec{E B}$

F là trung điểm của CD nên $\vec{F C} = \vec{D F} .$

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

$2 \vec{K L} = \vec{A E} + \vec{F C} = \vec{E B} + \vec{D F}$

Tương tự:

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

$\vec{E B} + \vec{D F} = 2 \vec{N M}$

Do đó $2 \vec{K L} = 2 \vec{N M}$

$\Rightarrow \vec{K L} = \vec{N M}$

$\Rightarrow$ KL = NM và KL // NM

$\Rightarrow$ KLMN là một hình bình hành.

b) Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

$2 \vec{E I} = \vec{E N} + \vec{E L} = \frac{1}{2} \vec{E D} + \frac{1}{2} \vec{E C}$

$= \frac{1}{2} (\vec{E D} + \vec{E C}) = \frac{1}{2} . \vec{E F}$ (do F là trung điểm của DC)

Do đó $2 \vec{E I} = \frac{1}{2} . \vec{E F}$

$\Rightarrow \vec{E I} = \frac{1}{4} . \vec{E F}$

Suy ra hai vectơ $\vec{E I}$ và $\vec{E F}$ cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71