Cho hàm số f(x) = tanx khi 0 ≤ x ≤ π/4, = k - cotx khi π/4 < x ≤ π/2

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 3 - Chân trời sáng tạo

Câu 14 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \tan x k h i 0 \leq x \leq \frac{π}{4} \\ k - c o t x k h i \frac{π}{4} < x \leq \frac{π}{2} \end{cases}$ liên tục trên đoạn $[0; \frac{π}{2}] .$ Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{π}{2} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

− Hàm số y = tanx là hàm lượng giác có tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + kπ\}$ với k ∈ ℤ nên nó liên tục trên các khoảng $(\frac{π}{2} + kπ; \frac{π}{2} + (k + 1) π)$

Mà $(0; \frac{π}{4}) \subset (\frac{π}{2} + kπ; \frac{π}{2} + (k + 1) π)$ nên hàm số y = tanx liên tục trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$

− Hàm số y = k – cotx là hàm lượng giác có tập xác định D = ℝ \ {kπ} với với k ∈ ℤ nên nó liên tục trên các khoảng (kπ; (k + 1)π).

Mà $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) \subset (kπ; (k + 1) π)$ nên hàm số y = k – cotx liên tục trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) .$

− Do đó, để hàm số liên tục trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ thì hàm số liên tục tại điểm $x = \frac{π}{4}$ và $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0), \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = f (\frac{π}{2}) .$

⦁ Hàm số liên tục tại điểm $x = \frac{π}{4}$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} f (x) = f (\frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \tan \frac{π}{4} = k - \cot \frac{π}{4} = k - \cot \frac{π}{4} \Leftrightarrow k - 1 = 1 \Leftrightarrow k = 2 (1)$

⦁ $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0) \Leftrightarrow \lim_{x \to 0^{+}} tanx = \tan 0 \Leftrightarrow \tan 0 = \tan 0$ (luôn đúng)

⦁ $\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = f (\frac{π}{2}) \Leftrightarrow \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} (k - cot x)$

$= k - cot \frac{π}{2} \Leftrightarrow k - cot \frac{π}{2} = k - cot \frac{π}{2}$ (luôn đúng)

Vậy k = 2.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 3 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯