X

Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo

Bài 10 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo


Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng .

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Lời giải:

Tam giác ABC đều nên A^=B^=C^=60°.

Bài 10 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán lớp 10

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

MK+MG=MA;  MH+MJ=MB;  MI+ML=MC               (1) 

Ta có: MH // AB  MHL^=B^=60° (đồng vị)

ML // AC MLH^=C^=60° (đồng vị)

Tam giác MHL có MHL^=MLH^=60° nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: MH+ML=2MD.

Chứng minh tương tự ta có: MK+MJ=2MF;MG+MI=2ME.

Do đó: 2MD+2ME+2MF=MH+ML+MG+MI+MK+MJ

=MK+MG+MH+MJ+MI+ML  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2MD+ME+MF=MA+MB+MC

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên MA+MB+MC=3MO

Do đó: 2MD+ME+MF=3MO

Suy ra MD+ME+MF=32MO

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: