Bài 7 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\vec{A B} = \vec{C D}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Lời giải:

Bài 7 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán lớp 10

+) Có $\vec{A B} = \vec{C D}$ , cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.

Khi đó ta có: $\vec{I A} + \vec{I D} = \vec{0}, \vec{J B} + \vec{J C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{I J} = \vec{I A} + \vec{A J} = \vec{I A} + \vec{A B} + \vec{B J}$

$\vec{I J} = \vec{I D} + \vec{D J} = \vec{I D} + \vec{D C} + \vec{C J}$

Suy ra: $\vec{I J} + \vec{I J} = (\vec{I A} + \vec{A B} + \vec{B J}) + (\vec{I D} + \vec{D C} + \vec{C J})$

$= (\vec{I A} + \vec{I D}) + (\vec{A B} + \vec{D C}) + (\vec{B J} + \vec{C J})$

$= \vec{0} + (\vec{A B} + \vec{D C}) - (\vec{J B} + \vec{J C})$

$= (\vec{A B} + \vec{D C}) - \vec{0} = \vec{A B} + \vec{D C}$

Do đó: $\vec{A B} + \vec{D C} = 2 \vec{I J}$ (1)

Mà $\vec{A B} = \vec{C D}$ nên $\vec{A B} + \vec{D C} = \vec{C D} + \vec{D C} = \vec{C C} = \vec{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{I J} = \vec{0}$

Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.

+) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.

Do đó: $\vec{I A} + \vec{I D} = \vec{0}, \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{A B} = \vec{A I} + \vec{I B}; \vec{C D} = \vec{C I} + \vec{I D}$

Suy ra: $\vec{A B} - \vec{C D} = (\vec{A I} + \vec{I B}) - (\vec{C I} + \vec{I D}) = (\vec{I B} + \vec{I C}) - (\vec{I A} + \vec{I D}) = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} = \vec{C D}$

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯