Bài 5 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho là hai vectơ khác vectơ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ;

b) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ .

Lời giải:

a) Áp dụng công thức ${\vec{u}}^{2} = {|\vec{u}|}^{2}$ .

Bình phương hai vế của đẳng phức $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ , ta được:

${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = {(|\vec{a}| + |\vec{b}|)}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + 2 |\vec{a}| . |\vec{b}| + {|\vec{b}|}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 |\vec{a}| . |\vec{b}| + {\vec{b}}^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}|$

Mà $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})$

Do đó: $|\vec{a}| . |\vec{b}| = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) \Leftrightarrow c o s (\vec{a}, \vec{b}) = 1$

Suy ra: $(\vec{a}, \vec{b}) = 0 °$ hay hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Vậy đẳng thức a) đúng khi hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

b) Bình phương hai vế của đẳng thức $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ , ta được:

${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {(\vec{a} - \vec{b})}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$

Vậy đẳng thức b) đúng khi hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết khác: