Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 4 - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn tóm tắt lý thuyết Toán 12 Chương 4 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 4 - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết tổng hợp Chương 4

1. Khái niệm nguyên hàm

• Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ℝ.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

• Định lí: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

+ Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

+ Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số. Ta gọi F(x) + C, C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)dx$ và viết

$\int f\left(x\right)dx$ = F(x) + C.

Chú ý:

+ Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), kí hiệu là dF(x).

Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

+ Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.

+ Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$.

2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

2.1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

• $\int 0dx=C$;

• $\int 1dx=x+C$;

• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ (α ≠ – 1).

Chú ý: Người ta thường viết $\int dx$ thay cho $\int 1dx$.

2.2. Nguyên hàm của hàm số y = $\frac{1}{x}$

• Ta có: $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

2.3. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác

• $\int \cos xdx=\sin x+C$;

• $\int \sin xdx=-\cos x+C$;

• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$;

• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

2.4. Nguyên hàm của hàm số mũ

• $\int e^{x}dx=e^x+C$;

• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (a > 0, a ≠ 1).

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

• Tính chất 1. Nguyên hàm của tích một số với một hàm số

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, ta có:

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$, với k ∈ ℝ, k ≠ 0.

• Tính chất 2. Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên K, ta có:

• $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

• $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

4. Diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi

S = F(b) – F(a),

trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

5. Khái niệm tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Hiệu số F(b) – F(a) còn được kí hiệu là ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b$.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Ta gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$là dấu tích phân, a và b là cận tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý:

+ Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0và\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$.

+ Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$.

+ Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Vậy S = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

+ Nếu hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và f'(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì

f(b) – f(a) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

+ Ta đã biết rằng, đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm (v(t) = s'(t)). Do đó, nếu biết tốc độ v(t) tại mọi thời điểm t ∈ [a; b] thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ a đến b theo công thức

s = s(b) – s(a) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(t\right)dt$.

Nhận xét: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

6. Tính chất của tích phân

• Tính chất 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], k là số thực. Khi đó:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

• Tính chất 2. Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

• Tính chất 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], c ∈ (a; b). Khi đó:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

7. Ứng dụng hình học của tích phân

7.1. Tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$.

Nếu phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (a; b) thì công thức trên vẫn đúng.

b) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hai hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx$.

7.2. Tính thể tích hình khối

a) Thể tích của vật thể

Trong không gian, cho một vật thể nằm ngang trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo mặt phẳng có diện tích S(x).

Khi đó, nếu S(x) là hàm số liên tục trên [a; b] thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức:

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

b) Thể tích khối tròn xoay

Cho y = f(x) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Quay D quanh trục Ox tạo thành một hình khối gọi là khối tròn xoay.

Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với x ∈ [a; b], ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng f(x) và diện tích là S(x) = πf²(x).

Vậy khối tròn xoay có thể tích là

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

Bài tập ôn tập Chương 4

B.1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. $\int {\cot }^{2}xdx$ bằng:

A. sin x – x + C.

B. – cot x – x + C.

C. tan x + x + C.

D. – cos x – x + C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {\cot }^{2}xdx$$=\int \left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1\right)dx$$=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx-\int dx$ = – cot x – x + C.

Bài 2. $\int e^{2x+1}dx$ bằng:

A. e^{2x + 1} + C.

B. e^2x + C.

C. $\frac{e^{2x+1}}{\ln 2}+C$.

D. $\frac{e^{2x+1}}{2}+C$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int e^{2x+1}dx=e\int {\left(e^2\right)}^{x}dx=e\cdot \frac{{\left(e^2\right)}^x}{\ln e^2}+C=\frac{e^{2x+1}}{2}+C$.

Bài 3. Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2}{\sqrt{x}}dx$ có giá trị bằng:

A. $4\sqrt{2}+4$.

B. $4\sqrt{2}-1$.

C. $4\sqrt{2}-4$.

D. $4-4\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2}{\sqrt{x}}dx$$=2\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}}dx={\left.2\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right|}_1^2={\left.4\sqrt{x}\right|}_1^2$$=4\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)=4\sqrt{2}-4$.

Bài 4. Nếu $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=4$ và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-5$ thì $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 9.

B. 1.

C. – 9.

D. – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=4+\left(-5\right)=-1$.

Bài 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = x³ và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:

A. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-x^3\right)dx$.

B. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx$.

C. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx$.

D. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3+x\right)dx$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với x ∈ [1; 2], x – x³ ≤ 0, do đó |x – x³| = x³ – x.

Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = x³ và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-x^3\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-x\right)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx$.

Bài 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² + $\frac{2}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 4 quay quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích tính theo công thức là:

A. $\underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$.

B. $\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$.

C. $\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}\left(x^2+\frac{2}{x}\right)dx$.

D. $\underset{2}{\overset{4}{\int }}\left(x^2+\frac{2}{x}\right)dx$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

$V=\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$.

B.2. Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² + 4x³ + $\frac{1}{x}$, biết F(1) = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^2+4x^3+\frac{1}{x}\right)dx=3\int x^{2}dx+4\int x^{3}dx+\int \frac{1}{x}dx$ = x³ + x⁴ + ln|x| + C.

Vì F(1) = 3 nên 1³ + 1⁴ + ln|1| + C = 3, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = x³ + x⁴ + ln|x| + 1.

Bài 2. Tìm:

a) $\int \frac{2}{x^5}dx$;

b) $\int \left(x^{\frac{3}{7}}+5x^4\right)dx$;

c) $\int \frac{4}{-9x}dx$;

d) $\int \frac{3x^3-2}{x}dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{2}{x^5}dx$$=2\int x^{-5}dx=2\cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}+C=-\frac{1}{2x^4}+C$.

b) $\int \left(x^{\frac{3}{7}}+5x^4\right)dx$$=\int x^{\frac{3}{7}}dx+5\int x^{4}dx=\frac{x^{\frac{3}{7}+1}}{\frac{3}{7}+1}+5\cdot \frac{x^5}{5}+C=\frac{7}{10}{x}^{\frac{10}{7}}+x^5+C$.

c) $\int \frac{4}{-9x}dx$$=-\frac{4}{9}\int \frac{1}{x}dx=-\frac{4}{9}\ln \left|x\right|+C$.

d) $\int \frac{3x^3-2}{x}dx$$=\int \left(3x^2-\frac{2}{x}\right)dx=3\int x^{2}dx-2\int \frac{1}{x}dx=x^3-2\ln \left|x\right|+C$.

Bài 3. Tìm:

a) $\int \left(7\cos x-9\sin x\right)dx$;

b) $\int \left(3+2{\cot }^{2}x\right)dx$;

c) $\int 3^{2x-6}dx$;

d) $\int \left(\frac{1}{3^x}+e^{3x+2}\right)dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(7\cos x-9\sin x\right)dx$$=7\int \cos xdx-9\int \sin xdx$= 7sin x – 9 ∙ (– cos x) + C

                                     = 7sin x + 9cos x + C.

b) $\int \left(3+2{\cot }^{2}x\right)dx$$=\int \left[1+2\left(1+{\cot }^{2}x\right)\right]dx$$=\int \left(1+2\cdot \frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

                               $=\int dx+2\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=x-2\cot x+C$.

c) $\int 3^{2x-6}dx$$=\frac{1}{3^6}\int {\left(3^2\right)}^{x}dx=\frac{1}{3^6}\cdot \frac{{\left(3^2\right)}^x}{\ln 3^2}+C=\frac{3^{2x-6}}{2\ln 3}+C$.

d) $\int \left(\frac{1}{3^x}+e^{3x+2}\right)dx$$=\int {\left(\frac{1}{3}\right)}^{x}dx+e^2\int {\left(e^3\right)}^{x}dx$$=\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^x}{\ln \frac{1}{3}}+e^2\cdot \frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln e^3}+C$

                             $=\frac{-1}{3^x\ln 3}+\frac{e^{3x+2}}{3}+C$.

Bài 4. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = 20 – 4t (m/s) (0 ≤ t ≤ 5). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đó đi được sau 3 giây là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Công thức tính quãng đường s(t) của ô tô đi được trong t (giây) kể từ khi hãm phanh là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Do $\int \left(20-4t\right)dx=20t-2t^2+C$ nên ta có s(t) = 20t – 2t² + C với C là hằng số nào đó. Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = 20t – 2t².

Vậy quãng đường ô tô đó đi được sau 3 giây kể từ khi hãm phanh là:

s(3) = 20 ∙ 3 – 2 ∙ 3²  = 42 (m).

Bài 5. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x⁴, trục hoành và hai đường thẳng x = $\frac{1}{2}$, x = 1.

Hướng dẫn giải

Hàm số y = x⁴ liên tục, dương trên đoạn $\left[\frac{1}{2};1\right]$ nên diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x⁴, trục hoành và hai đường thẳng x = $\frac{1}{2}$, x = 1 là:

S = $\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}dx$ = ${\left.\frac{x^5}{5}\right|}_{\frac{1}{2}}^1=\frac{31}{160}$.

Bài 6. Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{4}{x^5}dx$;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2}{3x}dx$;

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\sin x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}-2\right)dx$;

d) $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\cos x+2\right)dx$;

e) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{3}^{2x}dx$;

f) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-x}dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{4}{x^5}dx$$=4\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{-5}dx={\left.\frac{-1}{x^4}\right|}_1^3=\frac{-1}{3^4}-\left(-1\right)=\frac{80}{81}$.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2}{3x}dx$$=\frac{2}{3}\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx=\frac{2}{3}{\left.\ln \left|x\right|\right|}_1^2=\frac{2}{3}\left(\ln 2-\ln 1\right)=\frac{2}{3}\ln 2$.

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\sin x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}-2\right)dx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sin xdx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}dx$

$={\left.-\cos x\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}+{\left.\tan x\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}-{\left.2x\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$=-\left(\cos \frac{\pi }{4}-\cos 0\right)+\left(\tan \frac{\pi }{4}-\tan 0\right)-2\left(\frac{\pi }{4}-0\right)$

$=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1+1-0-\frac{\pi }{2}=\frac{4-\sqrt{2}-\pi }{2}$.

d) $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\cos x+2\right)dx$$=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx-\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx+2\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}dx$

$={\left.-\cot x\right|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}-{\left.\sin x\right|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}+{\left.2x\right|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$

$=-\left(\cot \frac{\pi }{2}-\cot \frac{\pi }{4}\right)-\left(\sin \frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{4}\right)+2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)$

$=-0+1-1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi +\sqrt{2}}{2}$.

e) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{3}^{2x}dx$$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{9}^{x}dx={\left.\frac{9^x}{\ln 9}\right|}_{-1}^1=\frac{9^1-9^{-1}}{\ln 9}=\frac{80}{9\ln 9}$.

f)$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-x}dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{-1}\right)}^{x}dx={\left.\frac{{\left(e^{-1}\right)}^x}{\ln \left(e^{-1}\right)}\right|}_0^1={\left.-e^{-x}\right|}_0^1$ = – (e^{– 1} – e⁰) = $1-\frac{1}{e}$.

Bài 7. Tại một nhà máy, gọi C(x) là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất x tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi đó, đạo hàm C'(x), gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức

C'(x) = 3 – 0,02x + 0,00051x² với 0 ≤ x ≤ 150.

Biết rằng C(0) = 20 triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng.

Hướng dẫn giải

Ta có: C(100) – C(0) = $\underset{0}{\overset{100}{\int }}{C}^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left(3-0,02x+0,00051x^2\right)dx$

$=3\underset{0}{\overset{100}{\int }}dx-0,02\underset{0}{\overset{100}{\int }}xdx+0,00051\underset{0}{\overset{100}{\int }}{x}^{2}dx$

$={\left.3x\right|}_0^{100}-{\left.0,01x^2\right|}_0^{100}+{\left.0,00017x^3\right|}_0^{100}$= 370.

Suy ra C(100) = C(0) + 370 = 20 + 370 = 390 (triệu đồng).

Vậy khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng thì tổng chi phí là 390 triệu đồng.

Bài 8. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

a) Tính diện tích S của hình phẳng D.

b) Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích của hình phẳng D là:

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|e^x\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_1^2=e^2-e$.

b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là:

$V=\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(e^x\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(e^2\right)}^{x}dx={\left.\pi \frac{e^{2x}}{2}\right|}_1^2=\frac{\pi }{2}\left(e^4-e^2\right)$.

Bài 9. Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\sqrt{4-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = – 2, x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

$V=\pi \underset{-2}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(4-x^2\right)dx$

$=\pi {\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-2}^2$$=\pi \left[\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)\right]=\frac{32\pi }{3}$.

Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = sinx, y = cosx và hai đường thẳng x = 0, x = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left|\sin x-\cos x\right|dx$.

Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ (k ∈ ℤ).

Vậy $S=\left|\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\sin x-\cos x\right)dx\right|$$=\left|{\left.\left(-\cos x-\sin x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}\right|=\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1$.

Học tốt Toán 12 Chương 4

Các bài học để học tốt Bài tập cuối chương 4 Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài tập cuối chương 4