Dùng đạo hàm của hàm số hãy giải thích Hàm số y = a^x đồng biến trên ℝ khi a > 1

Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích:

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Bài 21 trang 14 SBT Toán 12 Tập 1: Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích:

a) Hàm số y = a^x đồng biến trên ℝ khi a > 1, nghịch biến trên ℝ khi 0 < a < 1.

b) Hàm số y = log_ax đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi a > 1, nghịch biến trên khoảng (0; +∞) khi 0 < a < 1.

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = a^x ⇒y' = a^x.lna.

Với a > 1 thì lna > 0 nên y' > 0 với mọi x ∈ ℝ. Vậy a > 1 thì hàm số y = a^x đồng biến trên ℝ.

Với 0 < a < 1 thì lna < 0 nên y' < 0 với mọi x ∈ ℝ. Vậy 0 < a < 1 thì hàm số y = a^x nghịch biến trên ℝ.

b) Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có: y = log_ax ⇒ $y^{'} = \frac{1}{x . \ln a}$ .

Với a > 1 ta có lna > 0 suy ra $y^{'} = \frac{1}{x . \ln a}$ > 0 ∀x ∈ (0; +∞). Vậy hàm số y = log_ax đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Với 0 < a < 1 ta có lna < 0 suy ra $y^{'} = \frac{1}{x . \ln a}$ < 0 ∀x ∈ (0; +∞). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Lời giải SBT Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số hay khác: