Chứng minh rằng Hàm số y = căn bậc hai x^2-4 nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Chứng minh rằng:

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Bài 22 trang 14 SBT Toán 12 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 4}$ nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

b) Hàm số y = ln(x² + 1) nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).

c) Hàm số $y = 2^{- x^{2} + 2 x}$ đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Lời giải:

a) Tập xác định: D = (−∞; −2] ∪ [2; +∞).

Ta có: $y = \sqrt{x^{2} - 4}$ ⇒ $y^{'} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ .

y' = 0 khi x = 0 (loại do x = 0 không thuộc TXĐ).

Ta có bảng biến thiên:

Chứng minh rằng Hàm số y = căn bậc hai x^2-4 nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 4}$ nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

b) Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: $y^{'} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

y' = 0 khi x = 0.

Ta có bảng biến thiên:

Chứng minh rằng Hàm số y = căn bậc hai x^2-4 nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Từ bảng biến thiên, ta có hàm số y = ln(x² + 1) nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).

c) Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: $y = 2^{- x^{2} + 2 x}$ ⇒y' = (−2x + 2) . $2^{- x^{2} + 2 x}$ . ln2.

y' = 0 khi x = 1.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Hàm số $y = 2^{- x^{2} + 2 x}$ đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Lời giải SBT Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số hay khác: