Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

❮ Bài trước Bài sau ❯

Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình (Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Giải Toán lớp 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình $\frac{x^{2}}{28^{2}} - \frac{y^{2}}{42^{2}} = 1$ (Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, điểm O là tâm đối xứng của hypebol:

Gọi hai điểm A và B như hình vẽ.

Đặt khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là h. Khi đó khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là $\frac{2}{3}$ h.

Theo đầu bài ta có: h + $\frac{2}{3}$ h = 150

⇔ $\frac{5}{3}$ h = 150

⇔ h = 150 : $\frac{5}{3}$

⇔ h = 90.

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm A đến trục hoành hay là tung độ của điểm A.

⇒ y_A = $\frac{2}{3}$ h = $\frac{2}{3}$ .90 = 60.

Vì A thuộc hypebol nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình $\frac{x^{2}}{28^{2}} - \frac{y^{2}}{42^{2}} = 1$

⇒ $\frac{x_{A}^{2}}{28^{2}} - \frac{y_{A}^{2}}{42^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x_{A}^{2}}{28^{2}} - \frac{60^{2}}{42^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x_{A}^{2}}{28^{2}} - \frac{100}{49} = 1$

⇔ $\frac{x_{A}^{2}}{28^{2}} = \frac{149}{49}$

⇔ $x_{A}^{2} = 2384$

⇔ $x_{A} = 4 \sqrt{149}$

⇒ $A (4 \sqrt{149}; 60)$

Mặt khác điểm A thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ A đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng $4 \sqrt{149}$ .

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm B đến trục hoành hay là tung độ của điểm B.

⇒ y_B = -h = -90.

Vì B thuộc hypebol nên tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình $\frac{x^{2}}{28^{2}} - \frac{y^{2}}{42^{2}} = 1$

⇒ $\frac{x_{B}^{2}}{28^{2}} - \frac{y_{B}^{2}}{42^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x_{B}^{2}}{28^{2}} - \frac{{(- 90)}^{2}}{42^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x_{B}^{2}}{28^{2}} - \frac{225}{49} = 1$

⇔ $\frac{x_{B}^{2}}{28^{2}} = \frac{274}{49}$

⇔ $x_{B}^{2} = 4384$

⇔ $x_{B} = 4 \sqrt{274}$

⇒ $B (4 \sqrt{274}; 90)$

Mặt khác điểm B thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ B đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng $4 \sqrt{274}$ .

Vậy bán kính đường tròn nóc là $4 \sqrt{149}$ và bán kính đường tròn đáy là $4 \sqrt{274}$ .

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯