Bài 7.16 trang 53 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.16 trang 53 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (ABC) và (SAH) ⊥ (SBC).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\hat{A B C} = 30 °$ , AC = a, $S A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Lời giải:

Bài 7.16 trang 53 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Vì SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥ (ABC).

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Vì H là hình chiếu của A trên BC nên AH ⊥ BC.

Vì SA ⊥ BC và AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH), suy ra (SAH) ⊥ (SBC).

b) Vì BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ SH mà AH ⊥ BC nên $\hat{S H A}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\hat{A B C} = 30 °$ , AC = a có: $\tan \hat{A B C} = \frac{A C}{A B}$

$\Rightarrow A B = \frac{A C}{\tan \hat{A B C}} = \frac{a}{\tan 30 °} = a \sqrt{3}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại A, có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}}$

$\Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại A có: $\tan \hat{S H A} = \frac{S A}{A H} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = 1$ $\Rightarrow \hat{S H A} = 45 °$ .

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 45°.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Giải Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 7.16 trang 53 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: