Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Kết nối tri thức

Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a và $\hat{C A B}$ = 30^o. Biết SA $⊥$ (ABC) và SA = a $\sqrt{2}$ .

a) Chứng minh rằng (SBC) $⊥$ (SAB).

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Do tam giác ABC vuông tại B nên AB $⊥$ BC.

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ BC mà AB $⊥$ BC nên BC $⊥$ (SAB), suy ra (SBC) $⊥$ (SAB).

b) Kẻ AD $⊥$ SC tại D. Khi đó d(A, SC) = AD.

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AC nên tam giác SAC vuông tại A.

Xét tam giác ABC vuông tại B, sin $\hat{C A B}$ = $\frac{B C}{A C}$

$\Rightarrow$ AC = $\frac{B C}{\sin \hat{C A B}} = \frac{a}{\sin 30 °}$ = 2a.

Xét tam giác SAC vuông tại A, AD là đường cao, có:

$\frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$ $= \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}}$ $\Rightarrow A D = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy d(A, SC) $= \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Kẻ AE $⊥$ SB tại E.

Vì BC $⊥$ (SAB) nên BC $⊥$ AE mà AE $⊥$ SB nên AE $⊥$ (SBC).

Khi đó d(A, (SBC)) = AE.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AB = $\frac{B C}{\tan 30 °} = \frac{a}{\tan 30 °}$ = a $\sqrt{3}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AB, suy ra tam giác SAB vuông tại A.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AE là đường cao, có: $\frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}}$ .

$= \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{5}{6 a^{2}}$ $\Rightarrow$ AE = a $\sqrt{\frac{6}{5}}$

Vậy d(A, (SBC)) = a $\sqrt{\frac{6}{5}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: