Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Kết nối tri thức

Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD) $⊥$ (ABCD).

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Lời giải:

Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Kẻ SE $⊥$ AD tại E. Vì tam giác SAD vuông cân tại S nên E là trung điểm của AD.

Có (SAD) $⊥$ (ABCD), (SAD) $\cap$ (ABCD) = AD, SE $⊥$ AD nên SE $⊥$ (ABCD).

Vì tam giác SAD vuông cân tại S, SE là trung tuyến nên SE = $\frac{A D}{2} = \frac{a}{2}$ .

Khi đó $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} \cdot S E$ $= \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3}}{6}$ .

b) Do ABCD là hình vuông nên AD // BC mà BC $\subset$ (SBC) nên AD // (SBC).

Khi đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(E, (SBC)).

Kẻ EF // AB (F thuộc BC). Khi đó EF $⊥$ BC (vì AB $⊥$ BC).

Mà SE $⊥$ (ABCD) nên SE $⊥$ BC mà EF $⊥$ BC nên BC $⊥$ (SEF).

Lại có BC $\subset$ (SBC) nên (SBC) $⊥$ (SEF) và (SBC) $\cap$ (SEF) = SF.

Kẻ EG $⊥$ SF tại G nên EG $⊥$ (SBC). Khi đó d(E, (SBC)) = EG.

Do ABCD là hình vuông nên EF = AB = a.

Xét tam giác SEF vuông tại E, EG là đường cao, có

$\frac{1}{E G^{2}} = \frac{1}{S E^{2}} + \frac{1}{E F^{2}}$ $= \frac{4}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$ $\Rightarrow$ EG = $\frac{a}{\sqrt{5}}$ .

Vậy d(AD, SC) = $\frac{a}{\sqrt{5}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: