Bài 9.5 trang 86 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

---

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L và đoạn dốc xuống L là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L và L phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax + bx + c, trong đó x tính bằng mét.

Giải Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.5 trang 86 Toán 11 Tập 2: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L₁ và đoạn dốc xuống L₂ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L₁ và L₂ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax² + bx + c, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Lời giải:

a)

Vì gốc tọa độ đặt tại P nên P(0; 0) do đó ta có: c = y(0) = 0.

b)

Ta tính được: y' = 2ax + b.

Suy ra: y'(0) = b.

Mà L₁ là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên y'(0) = 0,5 ⇒ b = 0,5.

c)
L₂ là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc –0,75 nên

y'(x_Q) = 2ax_Q + 0,5 = –0,75.

Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên x_Q – x_P = x_Q = 40.

⇒ 2a . 40 + 0,5 = –0,75 ⇒ a = $\frac{-1}{64}$ .

Khi đó phương trình parabol là $y=-\frac{1}{64}{x}^2+\frac{1}{2}x$ .

d)

Ta có: $y_Q=\frac{-1}{64}{.40}^2+\frac{1}{2}.40=-5$.

Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là: |y_P – y_Q| = 5.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 81 Toán 11 Tập 2: Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng ....

• HĐ1 trang 81 Toán 11 Tập 2: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2) ....

• HĐ2 trang 82 Toán 11 Tập 2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t ....

• Luyện tập 1 trang 83 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = –x² + 2x + 1 tại điểm x₀ = –1 ....

• HĐ3 trang 83 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm f'(x0) tại điểm x0 bất kì trong các trường hợp sau ....

• Luyện tập 2 trang 84 Toán 11 Tập 2: a) y = x² + 1 ....

• HĐ4 trang 84 Toán 11 Tập 2: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số ....

• Luyện tập 3 trang 85 Toán 11 Tập 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x² tại điểm ....

• HĐ5 trang 85 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x² có đồ thị là đường parabol (P) ....

• Luyện tập 4 trang 85 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): y = –2x² ....

• Vận dụng trang 85 Toán 11 Tập 2: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm ....

• Bài 9.1 trang 86 Toán 11 Tập 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau ....

• Bài 9.2 trang 86 Toán 11 Tập 2: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau ....

• Bài 9.3 trang 86 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol ....

• Bài 9.4 trang 86 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất ....